====== ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক ফিল্ড ইকুয়েশন ======

ইলেক্ট্রিক চার্জ ও ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মধ্যে দুই ধরনের কাপ্লিং হয়। রেস্টে থাকা চার্জ ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক ফিল্ড $\mathbf{E}$ তৈরি করে যা থেকে আসে কুলম্ব ফোর্স:

$$ \mathbf{F}_C = q\mathbf{E} $$

যেখানে চার্জ $q$ অন্য সব চার্জের ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের সমন্বিত শক্তি অনুভব করবে।  দ্বিতীয় কাপ্লিংটা হলো, $\mathbf{v}$ বেগে চলা একটা চার্জ একটা কারেন্ট হিসেবে কাজ করে যা থেকে পাওয়া যায় ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড $\mathbf{B}$ এবং তার সাথে জড়িত লরেঞ্জ ফোর্স:

$$ \mathbf{F}_L = q(\mathbf{v}\times \mathbf{B}) $$

যেখানে আবারো সব চার্জ থেকে তৈরি ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড ধরতে হবে। এই দুই ইকুয়েশন চার্জের উপর এক্সটার্নাল ফিল্ডের প্রভাব ব্যাখ্যা করে। কিন্তু একটা চার্জ নিজেও এক ধরনের 'ইন্টার্নাল' ফিল্ড তৈরি করে যা [[maxwell|ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের]] মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়:

$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

$$ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

যেখানে ন্যাবলা $\nabla\times$ হলো [[vector-field|কার্ল]] অপারেটর, $\mathbf{j}$ ইলেক্ট্রিক কারেন্টের ডেন্সিটি, $\epsilon_0$ ও $\mu_0$ ভ্যাকুয়ামের পার্মিটিভিটি ও পার্মিয়েবিলিটি, এবং $t$ টাইম। তার মানে $\nabla\times \mathbf{E}$ হলো $\mathbf{E}$ নামের ত্রিমাত্রিক [[vector-field|ভেক্টর ফিল্ডের]] মধ্যে সার্কুলার মোশন বা সার্কুলেশনের পরিমাপ।

এম্পিয়ার-ম্যাক্সওয়েল ল নামে পরিচিত প্রথম ইকুয়েশন বলে, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের স্পেইশাল ভেরিয়েশন নির্ভর করে কারেন্টের উপর, আর ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের টেম্পোরাল ভেরিয়েশনের (অসিলেশন) উপর। ফ্যারাডে'র ল নামে পরিচিত দ্বিতীয় ইকুয়েশন বলে, ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের স্পেইশাল ভেরিয়েশন (বা সার্কুলেশন) নির্ভর করে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের টেম্পোরাল ভেরিয়েশনের উপর। প্রথমটা আরো বলে, ইলেক্ট্রিক কারেন্টই ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের সোর্স, আর ইলেক্ট্রিক ফিল্ডে ফাস্ট অসিলেশনের সোর্স।

প্রথম ইকুয়েশন আরো ছোট করে ফেলা যায় যদি আমরা মনে রাখি $\epsilon_0 \mu_0=c^{-2}$ যেখানে $c$ আলোর বেগ। আলোর বেগ যদি অনেক বেশি হয় তাহলে পার্মিটিভিটি ও পার্মিয়েবিলিটির প্রডাক্ট এত ছোট হবে যে এই ইকুয়েশনের দ্বিতীয় টার্মটাকে ইগ্নর করা যায়, অবশ্যই যদি ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের অসিলেশন অনেক ফাস্ট ও বেশি না হয়। ভ্যাকুয়াম বা প্রায়-ভ্যাকুয়ামের ক্ষেত্রে এটা সত্য। দুইটা ইকুয়েশন একসাথে করে বলা যায়, এক ফিল্ডের অসিলেশন অন্য ফিল্ডের কার্লের উপর নির্ভর করে, এবং এই ইন্টারডিপেন্ডেন্সের কারণেই তৈরি হয় আলো বা তড়িচ্চুম্বক তরঙ্গ।

এর সাথে আরো দুইটা ইকুয়েশন যোগ করতে হয় শর্ত হিসেবে:

$$ \nabla\cdot \mathbf{B} = 0 $$
$$ \nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

যেখানে $\nabla\cdot$ হলো [[vector-field|ডাইভার্জেন্স]] অপারেটর, এবং একটা প্লাজমার ক্ষেত্রে ইলেক্ট্রিক স্পেস চার্জ ডেন্সিটি $\rho=e(n_i-n_e)$ এবং $n_i$ হলো আয়নের নাম্বার ডেন্সিটি আর $n_e$ ইলেক্ট্রনের নাম্বার ডেন্সিটি। তার মানে $\nabla\cdot \mathbf{E}$ হলো ইলেক্ট্রিসিটির ভেক্টর ফিল্ডের মধ্যে সিংকের মতো ইনওয়ার্ড আর সোর্সের মতো আউটওয়ার্ড মোশনের পরিমাপ।

এখানে গাউসের ম্যাগ্নেটিজমে ল নামে পরিচিত প্রথম শর্তটা বলে, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের কোনো সোর্স বা সিংক নাই, তার মানে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইন সব সময় ক্লোজড, যেখান থেকে শুরু হয় সেখানেই এসে শেষ হয়। ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডকে যদি মেটাফরিকেলি একটা ফ্লুয়িড হিসাবে চিন্তা করি তাহলে এই ফ্লুইডকে বলতে হবে ইনকম্প্রেসিবল, যাকে কমপ্রেস করা যায় না। শুধু গাউসের ল নামে পরিচিত দ্বিতীয় শর্তটা বলে, ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের সোর্স হলো ইলেক্ট্রিক চার্জ, কারণ ডাইভার্জেন্স দিয়েই কোনো ভেক্টর ফিল্ডের সোর্স বা সিংক মাপতে হয়; পজিটিভ চার্জকে সোর্স আর নেগেটিভকে সিংক হিসাবে চিন্তা করা যায়। এই দুই সমীকরণ তুলনা করেই আমরা বলি, ইলেক্ট্রিক মনোপোলের (বিচ্ছিন্ন চার্জ) মতো কোনো ম্যাগ্নেটিক মনোপোল নেই, ম্যাগ্নেটিক পোল সব সময় জোড়ায় জোড়ায় থাকে।

প্লাজমার ক্ষেত্রে চার্জ ডেন্সিটির মতো কারেন্ট ডেন্সিটির সংজ্ঞাও দেয়া যায় এইভাবে: $\mathbf{j}=e(n_i\mathbf{v}_i-n_e\mathbf{v}_e)$ যেখানে $\mathbf{v}$ আবারো ভেলোসিটি, এবং সেই হিসাবে $n_i\mathbf{v}_i$ হলো ইলেক্ট্রনের ফ্লাক্স।