এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট নিয়ে আলোচনার সময় আমরা দেখেছি, ম্যাগ্নেটিক মিররের কারণে জাইরেট করতে থাকা কণার প্রতিফলন হয়, এবং এক্ষেত্রে জাইরেশনের পিচ এঙ্গেল

$$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{B}{B_m}} $$

যেখানে $B_m$ মিরর পয়েন্টে (যেখান থেকে কণা প্রতিফলিত হয়) ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মান। এবং ম্যাগ্নেটিক ডাইপোল ফিল্ডের ক্ষেত্রে দেখেছি, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মান সবচেয়ে কম হয় বিষুবাঞ্চলে, যেখানে ম্যাগ্নেটিক ল্যাটিচুড $\lambda=0$। তাহলে একটা ফিল্ড লাইন যেখানে পৃথিবীর বিষুব-তলকে ছেদ করে সেখানে তার ‘ইকুয়েটরিয়াল’ পিচ এঙ্গেল

$$ \sin^2\alpha_{eq} = \frac{B_{eq}}{B_m}; $$

এখানে $B_{eq}=B_E/L^3$, যেখানে $B_E$ পৃথিবীর সার্ফেসে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মান, এবং $L$ ফিল্ড লাইনটির এল-ভ্যালু। ম্যাগ্নেটিক ডাইপোল ফিল্ডের সমীকরণে $\lambda=0$ বসালেই এটা পাওয়া যাবে। মিরর পয়েন্টে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মান উপরের সমীকরণে বসালে শেষে পাওয়া যাবে

$$ \sin\alpha_{eq} = \sqrt{\frac{\cos^6\lambda_m}{\sqrt{1+3\sin^2\lambda_m}}} = \frac{\cos^3\lambda_m}{(1+3\sin^2\lambda_m)^{1/4}} $$

যেখানে $\lambda_m$ কণার মিরর পয়েন্টের ম্যাগ্নেটিক ল্যাটিচুড। এই সমীকরণ নিচে প্লট করা হয়েছে।

এই প্লট থেকে বুঝা যাচ্ছে যেসব কণার ইকুয়েটরিয়াল পিচ এঙ্গেল কম, সেসব কণার মিরর পয়েন্ট ল্যাটিচুড বেশি, অর্থাৎ তারা ম্যাগ্নেটিক পোলের আরো কাছ থেকে প্রতিফলিত হয়, মেরুর আরো কাছাকাছি যেতে পারে। এর কারণ, পিচ এঙ্গেল $\tan\alpha=v_\perp/v_\parallel$, অর্থাৎ এই কোণ ফিল্ডের প্যারালালে কণার বেগের ব্যস্তানুপাতিক, পিচ এঙ্গেল কম হলে প্যারালাল বেগ বেশি হয়, যার ফলে ফিল্ড লাইন ধরে কণাটি বেশি দূর যেতে পারে। এখানে মনে রাখতে হবে ০ থেকে ৯০ ডিগ্রির মধ্যে $\tan\alpha\propto\alpha$, অর্থাৎ কোণের ট্যাঞ্জেন্ট কোণের সমানুপাতিক। উপরের প্লট আরো বলছে, বিষুবের কাছে পিচ এঙ্গেল বেশি হলে মিরর পয়েন্ট ল্যাটিচুড কম হবে, কণাটি মেরুর বেশি কাছে যাওয়ার আগেই প্রতিফলিত হবে। সব কণা সমান ল্যাটিচুড পর্যন্ত যেতে পারে না।

ইকুয়েটরিয়াল প্লেন থেকে যাত্রা শুরু করা একটা কণা উত্তর মেরু থেকে বাউন্স করে দক্ষিণ মেরুতে গিয়ে আবার বিষুব-তলে ফিরে আসতে যেটুকু সময় লাগে তার নাম বাউন্স পিরিয়ড $\tau_b$, যার মান ভেলোসিটির সংজ্ঞা থেকে ইন্টিগ্রশনের মাধ্যমে বের করা যায়। প্যারালাল বেগ $v_\parallel=ds/d\tau$ হলে,

$$ \tau = 4\int_0^{\lambda_m} \frac{ds}{v_\parallel} = 4\int_0^{\lambda_m} \frac{ds}{d\lambda} \frac{d\lambda}{v_\parallel} $$

যেখানে ইন্টিগ্রাল ৪ দিয়ে গুণ করা হয়েছে কারণ কণাটি এক পিরিয়ডের মধ্যে $\lambda_m$ দূরত্ব চার বার অতিক্রম করে।

$$ v_\parallel^2 = v^2-v_\perp^2 = v^2(1-\sin^2\alpha) \Rightarrow v_\parallel = v\sqrt{1-(B/B_{eq})\sin^2\alpha_{eq}} $$

প্যারালাল ভেলোসিটির এই রূপ উপরের সমীকরণে বসালে এবং $ds/d\lambda$ তার পূর্ণ রূপ দিয়ে রিপ্লেস করলে একটা বড় ইন্টিগ্রাল পাওয়া যায় নিউমারিকেল মেথডে যার সমাধান করলে আনুমানিক মান পাওয়া যায় $1.30-0.56\sin\alpha_{eq}$, যা থেকে লিখা যায়

$$ \tau_b \approx 4\frac{r_{eq}}{v}(1.30-0.56\sin\alpha_{eq}) = \frac{LR_E}{\sqrt{W/m}} (3.7-1.6\sin\alpha_{eq}) $$

যেখানে $L=r_{eq}/R_E$ এবং কাইনেটিক এনার্জি $W=mv^2/2$ ইউজ করা হয়েছে। ঠিক ৪৫ ডিগ্রি পিচ এঙ্গেলে জাইরেট করা ১ কিলো-ইলেক্ট্রন-ভোল্ট এনার্জির ইলেক্ট্রন ও প্রোটনের জন্য এই সমীকরণ নিচে প্লট করা হয়েছে।

ইলেক্ট্রন হালকা বলে তার বাউন্স পিরিয়ড কয়েক সেকেন্ড, কিন্তু প্রোটন বা আয়নের কয়েক মিনিট। লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট কেবল তখনি ইনভেরিয়েন্ট থাকে যখন প্লাজমায় বিভিন্ন পরিবর্তনের কম্পাঙ্ক বাউন্স কম্পাঙ্কের চেয়ে কম হয়, তার মানে সব পরিবর্তনের পিরিয়ড (যা কম্পাঙ্কের বিপরীত) বাউন্স পিরিয়ডের চেয়ে অনেক বেশি হতে হবে। ইলেক্ট্রনের বাউন্স পিরিয়ড অনেক কম হওয়ায় এক্ষেত্রে লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট নিয়ে কোনো সমস্যা হয় না। কিন্তু প্রোটন ও আয়নের ক্ষেত্রে কিছু এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট আর ইনভেরিয়েন্ট থাকে না।

লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট ধ্রুব থাকলেও সব কণা ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইনে বন্দি নাও হতে পারে। কারণ কণার মিরর পয়েন্ট পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলের অনেক ভিতরে চলে আসলে নিউট্রাল কণার সাথে ইন্টারেকশনের কারণে আয়নিত কণাটি শোষিত হয়ে যেতে পারে। এটা হিসাব করার জন্য ‘ইকুয়েটরিয়াল লস কোন’ $\alpha_l$ নামে একটা কোণ ডিফাইন করা যায় এভাবে:

$$ \sin^2\alpha_l = \frac{B_{eq}}{B_E} = \frac{\cos^6\lambda_E}{\sqrt{1+3\sin^2\lambda_E}} $$

যেখানে $B_E$ পৃথিবীর সার্ফেসে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড এবং $\lambda_E$ সেই ম্যাগ্নেটিক ল্যাটিচুড যাতে একটা ফিল্ড লাইন পৃথিবীর সার্ফেসকে স্পর্শ করে। কণা শোষিত হয় আনুমানিক ১০০ কিমি হাইট থেকে, কিন্তু সার্ফেসে সাথে ১০০ কিমি হাইটের ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের খুব বেশি পার্থক্য না থাকায় এখানে সার্ফেসই ব্যবহার করা হয়েছে।

ইকুয়েটরিয়াল পিচ এঙ্গেল এই $\alpha_l$ এর চেয়ে কম হলে কণা জাইরেশনের সময় বায়ুমণ্ডলের এত ভিতরে চলে আসবে যে শোষিত হয়ে যাবে। উপরে দেখানো $d\Omega$ সলিড এঙ্গেলের ভিতরের সব কণা হারিয়ে যাবে। উপরের সমীকরণ এল-ভ্যালু দিয়ে লেখা যায় যদি মনে রাখি $\cos^2\lambda_E = L^{-1}$:

$$ \sin\alpha_l = (4L^6-3L^5)^{-1/4} $$

যা নিচে প্লট করা হয়েছে।

সুতরাং লস কোনের প্রস্থ শুধু এল-ভ্যালুর উপর নির্ভর করে, যা পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সাপেক্ষে একটা ফিল্ড লাইনের ইকুয়েটরিয়াল রেডিয়াস। অনেক দূরের লাইনের জন্য লস কোন খুবই সরু। জিওস্টেশনারি অর্বিটে, অর্থাৎ ৬.৬ আর্থ-রেডিয়াসে, লস কোনের প্রস্থ মাত্র ৩ ডিগ্রি।